%HTMLtags; ]> NON CLASSIFICABILE algoritmo euclideo 1 Devi dimostrare che numeratore e denominatore sono coprimi. Se un fattore divide entrambi, allora divide anche la loro somma, differenza, e ogni loro combinazione lineare... prova a dimostrare che deve dividere 1! + - \frac 12}$ ]]> 0$, il sistema ha rispettivamente $0,1,>1$ soluzioni reali. ]]> 0$, abbiamo: $\displaystyle{f(x+a)= \frac 12 + \sqrt{f(x)-f(x)^2} \qquad \forall \ x \in \ \mathbb{R}}$ Dimostrare che $f$ è periodica, e dare un esempio di una $f$ non costante per il caso $a=1$. ]]> 0$ per cui esiste un tetraedro con $k$ spigoli di lunghezza $a$ e i rimanenti di lunghezza $1$. ]]> 0,x_2>0$, $x_1y_1>z_1^2$, $x_2y_2 > z_2^2$. Dimostrare che: $\displaystyle{ \frac 8 {(x_1+x_2)(y_1+y_2) - (z_1+z_2)^2} \le \frac 1 {x_1y_1-z_1^2} + \frac 1 {x_2y_2 - z_2^2} }$ Quando si ottiene l'uguaglianza? ]]> b \ge 2$. $x_0,x_1,\ldots,x_n$ sono interi non negativi minori di $b$, e $x_n,x_{n-1}$ sono diversi da 0. $x_nx_{n-1}\ldots x_0$ è la rappresentazione dell'intero $A$ in base $a$ e la rappresentazione dell'intero B in base $b$. $x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0$ è la rappresentazione dell'intero $A'$ in base $a$ e la rappresentazione dell'intero $B'$ in base $b$. Dimostrare che $A'B < AB'$. ]]> c$ per ogni $n$ sufficientemente grande. \end{itemize} ]]> 2, n \neq3, n\neq 5$ esistono dei reali $a_i$ per cui $E_n < 0$. ]]> 4$, dimostrare che ogni quadrilatero ciclico può essere diviso in $n$ quadrilateri ciclici. ]]> 0$. Sia $n$ il numero di radici intere distinte alle equazioni $P(x)=1$ o $P(x) = -1$. Dimostrare che $n \le d+2$. ]]> i$. ]]> 2$, sia $V_n$ l'insieme degli interi della forma $1+kn$ con $k$ intero positivo. Un numero $m \in V_n$ si dice indecomponibile se non è prodotto di due elementi di $V_n$. Dimostrare che esiste un intero in $V_n$ che si può scrivere come prodotto di elementi indecomponibili di $V_n$ in almeno due modi distinti (due scomposizioni in cui cambia solo l'ordine dei fattori sono uguali). ]]> f(f(n))$ per ogni $n$, dimostrare che $f(n)=n$ per ogni $n$. ]]> 2$ esiste un insieme di $n$ interi positivi consecutivi tali che il massimo dell'insieme è un divisore del minimo comune multiplo dei rimanenti $n-1$ numeri? Per quali $n>2$ esiste un unico insieme con questa proprietà? ]]> r$ e con lo stesso centro. Sia $P$ un punto fisso sulla circonferenza più piccola e $B$ un punto variabile sulla circonferenza più grande. La retta $BP$ interseca di nuovo la circonferenza grande in $C$. La perpendicolare a $BP$ per $P$ interseca la circonferenza piccola in $A$. \begin{itemize} \item trovare l'insieme dei valori che può assumere $AB^2+BC^2+CA^2$ \item trovare il luogo dei punti medi di $BC$. \end{itemize} ]]> 1$, due giocatori A,B scelgono a turno (partendo da A) una sequenza di interi $n_1,n_2,\ldots$ secondo le seguenti regole: \begin{itemize} \item Conoscendo $n_{2k}$, A può scegliere qualsiasi intero $n_{2k+1}$ tale che $n_{2k} \le n_{2k+1} \le n_{2k}^2$. \item Conoscendo $n_{2k+1}$, B può scegliere qualsiasi intero $n_{2k+2}$ tale che $\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} = p^r$ per qualche primo $p$ e qualche intero $r \ge 1$. \end{itemize} Il giocatore $A$ vince quando sceglie il numero 1990, il giocatore B vince quando sceglie il numero 1. Per quali $n_0$: \begin{itemize} \item A ha una strategia vincente? \item B ha una strategia vincente? \item Nessun giocatore ha una strategia vincente? \end{itemize} ]]> 0}$ dimostrare che $n$ è un primo o una potenza di 2. ]]> 1$, costruire una sequenza limitata di reali $x_0,x_1,x_2,\ldots$ tali che $|x_i-x_j| |i-j|^a \ge 1$ per ogni coppia di indici distinti $i,j$. ]]> 1$ è un intero. Dimostrare che $f(x)$ è un polinomio irriducibile. ]]> 1$ lampadine $L_0,L_1,\ldots,L_{n-1}$ disposte su un cerchio. Scrivendo $L_{n+k}$ intendiamo $L_k$. Una lampadina è sempre o accesa o spenta. All'inizio sono tutte accese. Si eseguono le mosse $s_0,s_1,\ldots$ come segue: alla mossa $s_i$, se $L_{i-1}$ è accesa, si cambia di stato $L_i$, altrimenti non si fa nulla. Dimostrare che: \begin{itemize} \item Esiste un intero positivo $M(n)$ tale che dopo $M(n)$ mosse tutte le lampadine sono di nuovo accese \item Se $n=2^k$, possiamo prendere $M(n) = n^2-1$ \item Se $n=2^k + 1$, possiamo prendere $M(n) = n^2-n+1$. \end{itemize} ]]> 3$ per cui esistono $n$ punti $A_1,A_2,\ldots,A_n$ nel piano, a tre a tre non allineati, e numeri reali $r_1,r_2,\ldots,r_n$ tali che per distinti $i,j,k \in \{1,2,\ldots,n\}$, l'area del triangolo $A_iA_jA_k$ è $r_i+r_j+r_k$. ]]> 1$ è un intero. Su una retta scegliamo $n$ punti, alcuni dei quali possono coincidere, ma non tutti. In una mossa, si scelgono due punti distinti $A,B$ in modo che $A$ sia alla destra di $B$, e si sposta $B$ nel punto $B'$ alla destra di $A$, in modo che $AB' = kBA$. Per quali valori di $k$ possiamo spostare i punti arbitrariamente lontano a destra con una successione di mosse? ]]> L>M>N$ sono interi positivi tali che: $\displaystyle{ KM + LN = (K+L-M+N)(-K+L+M+N) }$ Dimostrare che $KL+MN$ è composto. ]]> (t_1+t_2+\ldots+t_n)(\frac 1 {t_1} + \frac 1 {t_2} + \ldots + \frac 1 {t_n} }$ Dimostrare che $t_i,t_j,t_k$ sono le lunghezze dei lati di un triangolo, per ogni $1 \le i < j < k \le n$. ]]> 1$ con coefficienti interi e $k$ un intero positivo. Consideriamo il polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x))\ldots ))$, dove compaiono $k$ P. Dimostrare che esistono al più $n$ interi $t$ tali che $Q(t) = t$. ]]> % la mia IMO $\cuoricino$ 0 }$ come un insieme di $(n+1)^3-1$ punti nello spazio. Trovare il più piccolo numero di piani la cui unione contiene $S$ ma non contiene $(0,0,0)$. ]]>